正交矩阵（正交矩阵的性质）
本文目录
- 何谓正交矩阵？它有哪些性质？
- 正交矩阵的？
- 两列什么叫正交矩阵？
- 一个正交矩阵是什么意思？
- 怎样求一个矩阵的正交阵？
- 正交矩阵的性质有哪些？
何谓正交矩阵？它有哪些性质？
假如：AA'=E（E为单位矩阵，A'表示“矩阵A的转置”。）则n阶实矩阵A称为正交矩阵性质：
1. 方阵A正交的充要条件是A的行（列) 向量组是单位正交向量组；
2. 方阵A正交的充要条件是A的n个行（列)向量是n维向量空间的一组标准正交基；
3. A是正交矩阵的充要条件是：A的行向量组两两正交且都是单位向量；
4. A的列向量组也是正交单位向量组。
正交矩阵的？
正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是属于正规矩阵。尽管我们在这里只考虑实数矩阵，但这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。
正交矩阵究竟是从内积自然引出的，所以对于复数的矩阵这导致了回一要求。正交矩阵不一定是实矩阵。
实正交矩阵（即该正交矩阵中所有元都是实数）可以看做是一种特殊的酉矩阵，但也存在一种复正交矩阵，这种复正交矩阵不是酉矩阵
两列什么叫正交矩阵？
正交矩阵是方块矩阵，行向量和列向量皆为正交的单位向量。
行向量皆为正交的单位向量，任意两行正交就是两行点乘结果为0，而由于是单位向量，所以任意行点乘自己结果为1。
对于3x3正交矩阵，每行是一个3维向量，两个3维向量正交的几何意义就是这两个向量相互垂直。
所以3x3正交矩阵的三行可以理解为一个3D坐标系里的三个坐标轴，下面是3＊3正交矩阵M，
x1，x2，x3，／／x轴y1，y2，y3，／／y轴z1，z2，z3，／／z轴
单位矩阵表示的三个坐标轴就是笛卡尔坐标系里的x，y，z轴：
1，0，0，／／x轴0，1，0，／／y轴0，0，空运报价海运价格，1，／／z轴
一个向量乘以3x3正交矩阵的几何意义就是把这个向量从当前坐标系变换到这个矩阵所表示的坐标系里，比如下面的矩阵M1，
0，1，0，1，0，0，0，0，1，
一个向量（1，2，3）右乘这个矩阵M1得到新的向量（2，1，3），就是把原向量从原坐标系变换到一个新的坐标系。
新坐标系的x轴在原坐标系里是（0，1，0），即落在原坐标系的y轴上，
新坐标系就是把原坐标系的x和y轴对调，所以这个正交矩阵M1作用于向量（1，2，3）后把向量的x和y分量对调了。
正交矩阵的定义“行向量和列向量皆为正交的单位向量”带来了另一个好处：正交矩阵的转置就是正交矩阵的逆，比普通矩阵求逆矩阵简单多了。
一个正交矩阵是什么意思？
一个正交矩阵是指其转置即是逆的矩阵，假设A是一个n阶方阵，Aт是A的转置，假如有AтA=E（单位矩阵），则称A是正交矩阵。
正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是属于正规矩阵。正交矩阵不一定是实矩阵，实正交矩阵（即该正交矩阵中所有元都是实数）可以看做是一种特殊的酉矩阵，但也存在一种复正交矩阵，这种复正交矩阵不是酉矩阵
怎样求一个矩阵的正交阵？
1、具体定义自己看书，我们直接上手题目：设对称矩阵 |4 2 2 | A=|2 4 2 | |2 2 4 |求一个正交矩阵B，国际货运空运价格，使B^TAB为对角矩阵，并写出该矩阵。我们碰到这题目应该想到先求A的特征根，如下图所示
2、这里常用的矩阵求法为1)这种3x3的矩阵可以按纵（横）列利用代数余子式展开直接求解，即
3、通过化为上三角或下三角（对于该题并不适用，过程太过繁琐）
4、由前面我们求得特征根的值为2和8（两个值重叠了，即2，2，8）所以我们可得下图
5、现在我们对每个特征根带进原式求基础解系具体来说就是原来的式子|进E-A|中的进应该被我们解出来的2，2，8重新带进1）把进=2带进可得（2E-A）X = 0即如下图所示
6、我们开始解这个其次方程了，我们得到的式子为-2x1-2x2-2x3=0;把x1当作未知数，x2，x3为参数可得-x1 = x2 + x3;(x2,x3)把他们的取值分别设为（1，0）（0，1）可得x1的值为-1；所以基础解系为X1（-1，1，0），X2（-1，0，1）65线性方程租的解法(非齐次方程和齐次方程)，将X1，X2正交标准化得到：正交标准话，即单位化，同理得到 进=8 的基础解系，用解得的单位解组成正交矩阵（留意：应该是纵向组成矩阵）
"正交矩阵的性质有哪些？
假如AAT=E（E为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转置矩阵”）或ATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵。正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是属于正规矩阵。
正交矩阵的性质
1、逆也是正交阵
对于一个正交矩阵来说，它的逆矩阵同样也是正交矩阵。
2、积也是正交阵
假如两个矩阵均为正交矩阵，那么它们的乘积也是正交矩阵。
3、行列式的值为正1或负1
任何正交矩阵的行列式是+1或1对于置换矩阵，行列式是+1还是1匹配置换是偶还是奇的标志，行列式是行的交替函数。
4、在复数上可以对角化
比行列式限制更强的是正交矩阵总可以是在复数上可对角化来展示特征值的完全的集合，它们全都必须有(复数)尽对值1。
